王的猜想，刚刚扩展到四维

< img id="wx_img" src="https://www.qbitai.com/wp-content/uploads/imgs/qbitai-logo-1.png" width="400" height="400"> 王的猜想，刚刚扩展到四维 听雨 2026-10-11 13:23:47 来源： 量子位 听雨 发自 凹非寺 量子位 | 公众号QbitAI 今年7月，王虹、邓煜在费城国际数学家大会上拿下菲尔兹奖。 消息刷屏那几天，Anthropic员工Alek Dimitriev在X上发了一句： 这届菲尔兹奖，将是人类最后一次拿到这个奖。 往届得主Timothy Gowers跟帖，说自己也有过类似的想法。 不过这个过程有滞后，所以我想他们大概能撑到2030年。 谁能想到…Gowers你可能还是乐观了。 10月7日，OpenAI一口气放出了722篇数学手稿，论文和部分Lean证明全部上传Github。 其中编号074的一组只有两篇，正是王虹拿奖的那个方向： 挂谷猜想 。 一篇声称证明了三维挂谷极大函数猜想，比王虹和Zahl证明的版本更强。 另一篇声称证明了四维挂谷猜想。 两篇手稿加起来272页，作者栏只有一个词：OpenAI。 王虹与Joshua Zahl刚解决三维挂谷集维数猜想，AI便把相关结果推到了四维。 难道…今年这届菲尔兹奖，真的是人类数学的最后一届么？ OpenAI的两篇挂谷论文，具体做了什么？ 1917年，日本数学家挂谷宗一提了个问题：在平面上让一根长度为1的针掉头转一圈，最少需要多大的面积？ △ 挂谷问题的示意图 Besicovitch给出了一个反直觉的答案：面积可以任意小。更离谱的是，一个集合可以在每个方向上都装下一根单位长的针，面积却是零。 面积靠不住，数学家就换了把尺子，用「维数」来量。 这里的「维数」不只是长、宽、高的日常概念。对于这种形状极不规则的集合，数学家会用Hausdorff维数、Minkowski维数等工具，衡量它在不同尺度下到底有多复杂。 一个集合的体积可以是0，但它仍可能拥有完整的空间维数。 挂谷猜想指的是：在n维空间里，只要一个集合在每个方向上都装得下一根单位线段，它的维数就必须是满的n维。 难点在于，这些看起来很细的线段如何交错、重叠，以及重叠之后还能不能把集合压得更小。 △ 挂谷问题的示意图 平面情形1971年就被Davies证完了；三维卡了半个世纪，直到2025年2月被王虹和Joshua Zahl拿下。 四维及以上，至今没人证出来。 OpenAI这次公开的两篇手稿，分别处理了挂谷问题的两个版本。 第一篇：三维挂谷极大函数猜想 依然是三维，但题目换成了更难的版本。 可以先把它想成一个「管子重叠控制」问题：把许多根细长的管子放进三维空间，每根管子代表针的一个方向。 △ OpenAI公开的三维挂谷极大函数猜想论文首页 数学家要研究的是，当这些管子朝向各不相同的方向时，它们能重叠到什么程度，又能否用一个统一的估计控制这种重叠。 王虹和Zahl证明的是「集合版」，研究的是这些针堆在一起至少占多大地方。 而OpenAI证明的「极大函数版」则研究得更加细致： 把每根针加粗成一根细管子，假设每根管子里只有一部分是「实心」的，比例记作λ。所有实心部分并在一起，体积能不能保证不小于λ³这个量级？ λ越小，管子越空，越难控制。集合版只需要一个比较宽松的λ的幂次就够了，极大函数版则要求这个幂次恰好是3。 这一点在OpenAI论文的引言里也明确写出：王虹和Zahl的定理给出的是λ的K(ε)次方，「换成λ³的需要」在他们定理之后就已经被明确提出。 也就是说，这是王虹和Zahl留下的下一步。而OpenAI这篇97页的论文，声称把这一步解决了。 这为什么重要？因为挂谷极大函数把「各种方向的细管如何挤在一起」变成了可计算的分析问题。 它与傅里叶分析中的一些核心猜想相连，也长期被认为是理解波、频率和空间集中现象的重要工具。 1971年，Fefferman就是用挂谷集合构造反例，证明了高维的球乘子除L²外都不有界。此后挂谷问题就和傅里叶限制猜想、Bochner-Riesz猜想紧紧联系在了一起。 第二篇：四维挂谷集的Hausdorff维数 四维这边，人类此前的进度是这样的： 1995年，Wolff用「发刷」方法证到维数至少3； 后来Guth和Zahl用多项式方法推到3+1/40，大约3.025； 2019年，Katz和Zahl用「平面刷」推到3.059； 之后的进展，基本都在小数点后第二三位上挪动。 而OpenAI这篇175页的论文，声称直接证到4。 △ OpenAI公开的四维挂谷集Hausdorff维数猜想论文首页 四维难在哪？Guth在综述里指出，王虹和Zahl三维证明里的关键定理，搬到四维就不成立了。 因为高维空间里，管子可以扎堆聚在低次代数曲面附近，形成三维里没有的反例结构。 而OpenAI四维论文的核心工具瞄准了这个问题：用二次多项式在不同尺度上做局部拟合，追踪那些跨尺度持续聚集的线。 全文中，「polynomial」一词出现了213次。 还有一个细节，四维论文的关键输入之一，引用的正是三维那篇OpenAI论文里的一个引理。相当于两篇论文是一条链路，三维的更强版本给四维铺了路。 因此也可以说，它把王虹的成果往前推了一大步。三维上把她的定理加强到了极大函数版本，四维上把一个卡在3点几的问题直接推到了4。 但这篇论文依然有边界，四维只证了Hausdorff维数版本，没有解决四维的极大函数猜想；五维及以上也没有证完，论文只用投影给出了一个下界。 而且值得注意的是，074号这组成果没有Lean形式化，也没有经过同行评审。 OpenAI在README里写道：一些未经形式化的结果「可能有问题」。 王虹做了什么？ 有人说，王虹赶在AI之前拿下菲尔兹奖，算是幸运。 真的是这样吗？ 翻开OpenAI这两篇论文的全文， 出现最多的名字之一就是王虹 。 仅三维那篇，「Wang」就出现了23次。 三维挂谷这座山峰，人类数学家已经爬了很多年。 Katz、Łaba和Tao很早就发现，近乎极端的管子构型会呈现三种结构：粘性、平面性、颗粒性。 但几十年里，没人能把它们做成一个完整的证明。 王虹和Zahl分了三步走： 2022年，先证了「粘性」挂谷集合的情形，后来发表在《美国数学会杂志》上。 2024年，拿下Assouad维数版本。 2025年2月，放出127页的完整证明，三维挂谷集合猜想的Hausdorff维数和Minkowski维数版本一起解决。 △ 王虹与Joshua Zahl关于三维挂谷集猜想的论文 Nets Katz评价，这是「百年一遇的结果」。 同一时期，王虹还和任康解决了平面上的Furstenberg集合猜想，这也是调和分析里的一个老问题。 这些工作，现在都成了OpenAI论文的地基。 三维论文直接调用了Guth、王虹、Zahl三人的简化证明，Guth正是王虹在MIT读博时的导师；它还用到了任康和王虹的平面Furstenberg估计。 四维论文则用到了王虹和Zahl的一个点积定理。 如果两篇论文最终被确认成立，它们也是在王虹搭好的框架上，往上加盖了两层。 而且，王虹对AI的态度也并非排