数学台球 (2024)

那个结构是什么？您喜欢打台球或台球吗？我当然知道；我发现在多次弹跳后用复杂的击球将球打入袋是非常令人满意的。不过，我并不是一个技术非常熟练的球员，所以我错过了很多投篮。幸运的是，我可以将这些失败归咎于碰撞中的摩擦和非弹性，或者归咎于不同球的意外干扰。你可以想象，当我得知数学台球的存在时，我松了一口气！在这篇文章中，我将描述几种数学台球，并讨论我如何使用计算机实验来在研究这些游戏方面取得进展。您看到的图像部分来自 Geogebra 和我在我的网站上创建和托管的一个软件。稍后会详细介绍；让我们深入了解第一场比赛。内部台球想象一下，您正在打台球，但您使用的不是标准的矩形桌子，而是一张定制的没有口袋且形状为您选择的形状的桌子。例如，我们可以画出椭圆形台球桌的形状（见图1）。然而，这个选择只是一个例子！您可以使用任何形状，只要它是凸形的，这意味着您可以从轨道上的任何点到任何其他点进行清晰的射击：根据常规内部台球图，台球在椭圆形中弹跳的示例。数学家将这个过程描述为映射，其中有向和弦“xy”被发送到有向和弦“yz”。现在在椭圆的边界上选择两个不同的点——我们称它们为“x”和“y”。想象一下，您在 y 方向的 x 处击打一个点状球。它将穿过图 1 中的青色路径，从墙上弹向新点“z”。在一个理想化的、无摩擦的世界中，我们可以沿着球的路径进行任意多次的弹跳。由此产生的和弦序列称为轨迹。数学台球是对这些理想化台球游戏中球的轨迹的研究。对于高级读者：台球作为动力系统数学家喜欢将这样的“游戏”描述为动力系统。动态系统是对“状态”（在本例中是一对点，如上面的 x 和 y ，这样在某个时间球从 x 行进到 y ）以及该状态随时间演变的方式的描述（在本例中，是当球在 y 处弹跳时，它会改变路线并前往 z 的物理概念）。熟悉动力系统理论的人可能会用以下方式描述这个游戏：台球是在定义我们的桌子的主体 K 中的有向弦空间上的动力系统。台球图 T K 就是执行上述操作的变换：它“吃掉”有向弦 xy 并“吐出”弦 yz ，使得弦在 y 点服从反射定律。研究这类系统的几何学家会提出这样的问题：K 是否承认周期性轨迹？也就是说，是否可以选择一个 x 和 y，使得生成的轨迹在一段时间后准确地折回其步骤？周期性的台球轨迹。非周期性的附近轨迹的多次迭代。许多数学家研究过这种形式的台球，并且了解很多，但也有一些基本问题仍然悬而未决。例如，尚不清楚是否所有三角形都承认周期性轨迹。可以在此处找到该主题的良好参考。外部台球 有时，像我这样的台球新手可能会用力击打母球，将其完全从桌子上撞下来。如果你有过这样的经历，不用担心！数学再次出现在我们面前，有一种叫做“外台球”的游戏。该游戏不再遵循物理台球的“普通”规则（即桌子上碰撞的物理原理），而是一种抽象游戏，根据一组完全不同的数学规则描述物体围绕给定几何形状的运动。为了便于说明，我们再次选择椭圆的简单示例。考虑椭圆外的一个点“x”，并构造它到椭圆边界的两条切线。如图 3 中的动画所示，选择两个切点之一（图中称为“p”），使得椭圆的内部位于蓝色线段的左侧，从位于 x 的玩家处看到。最后，通过该切点反映玩家的位置x，得到新的点“y”。由此产生的从 x 到 y 的路径对应于这个修改后的台球游戏中的一次“击球”。外台球图一步。点 x 通过数学家所说的外台球图发送到点 y。外台球图一步。点 x 通过数学家所说的外台球图发送到点 y。外台球是一种新的动力系统，其中状态是桌子外平面上的一个点，系统的演化是如上所述的从 x 到 y 的映射。到达 y 后，我们可以再次重复相同的过程