55 年前的数学难题终于被人类解决了

这个故事的原始版本出现在广达杂志上。已故的罗纳德·格雷厄姆戴着两顶帽子。他是一位著名的数学家，曾任美国数学会主席。他还是一位认真的杂耍演员，也是国际杂耍演员协会的主席。 “他喜欢把戏，”格雷厄姆的妻子、加州大学圣地亚哥分校的数学家范钟 (Fan Chung) 说。 “你知道，旋转一个球，旋转一个衣架，一起旋转几个球，把笔扔到墙上。”有时格雷厄姆同时戴上两顶帽子。 “事实上，有趣的是，许多数学家和计算机科学家都对杂耍感兴趣，”他在 1980 年的一次电视采访中说道。 “我认为这是对模式和结构的探索造成的。”他继续写了许多关于杂耍数学的论文，其中一些是与钟一起写的。但早在 1971 年，也就是他明确表达这种联系的几十年前，他就提出了一个问题，一些数学家现在说这个问题也可能是受到杂耍的启发。从一组随机的不同整数开始，不包括零。你是否可以重新排列它们，以便如果你将前两个数字相加，然后将前三个数字相加，然后是前四个数字，依此类推，每个“部分和”的结果都会不同？用杂耍的语言来说，这意味着如果每个球在空中停留的时间不同，你总是可以找到一个将它们扔进去的命令，这样两个球就不会在同一节拍上坠落——这会破坏表演。如果数字都是正数，那么格雷厄姆问题的答案显然是肯定的：当你添加更多数字时，总和总是会变大。同样，如果混合中同时存在正数和负数，则答案也是肯定的。但是，如果这些数字存在于一个有限的世界中——就像缠绕在时钟上的数字一样，在一定的计数后会重复呢？已故数学家罗纳德·格雷厄姆也是一位熟练的杂技演员。摄影：Peter Vidor 这就是格雷厄姆想知道的。他猜想，答案应该还是肯定的。他认为，这种情况经常发生，即使在处理严格的约束时，你仍然可以找到足够的灵活性来构造特殊的模式或结构——就像通常可以找到有效的数独板或拉丁方（另一种拼图），尽管它们有很多规则。普林斯顿大学数学家诺加·阿隆 (Noga Alon) 表示：“它非常适合所有这些有关设计和非常对称结构的问题。”但几十年来，没有人能够证明格雷厄姆的直觉是正确的。最近，当几位年轻的数学家拿起球时，情况发生了变化。在跨越四篇论文和数学各个领域的证明中，他们最终解决了格雷厄姆的重排猜想。最终论文由波恩大学的 Lisa Sauermann 和芝加哥大学的 Huy Tuan Pham 于 2026 年 2 月发表，正式解决了该问题。在所有论文中，一个主题盛行：随机性绘制模式的力量。正如阿隆所说，“正是协作的力量、年轻一代的力量、概率方法的力量”解决了这个问题。牛津大学数学家 Alp Müyesser 经常发现自己被一些问题所吸引，这些问题的解决方案需要两个要素：随机过程和额外的东西。 2022 年，当他还是一名研究生时，他解决了一个这样的问题，之后遇到了格雷厄姆猜想，并意识到他刚刚完成的证明也能对此有所帮助。 Alp Müyesser 喜欢思考需要他将随机性与其他​​事物结合起来的问题。摄影：Kangxin Chen 该猜想以时钟算术世界为背景。首先将所有数字放在数轴上，然后将线绕在钟面上，以便数字在某个素数 p 之后重复。例如，假设 p 是 7。在此设置中，0、7、14 和 7 的所有其他倍数都是等价的，这意味着您可以将两个正数（如 3 和 4）相加并得到零。格雷厄姆提出了以下问题：如果您从该数轴上选取任何一组非零数字（对于任何 p ），您是否可以始终重新排列它们，以便您得到的部分和都不同？挑战取决于您的集合与 p 相比有多大。您选择的数字越多，需要管理的金额就越多。但如果你选择的数字较少，重新排列它们的方法就会较少。这些不同的案例激发了不同的方法。 Müyesser 和他的前顾问、伦敦大学学院的 Alexey Pokrovskiy 一起解决了这样的情况：你的集合几乎包括直到 p 的所有可能数字。对于这么大的集合，构建有效的排序可能非常困难。但事实证明，从随机排序开始就可以完成大部分任务。 “我们不知道这一点，这对人类来说是尴尬的。这种情况必须得到纠正。”诺亚·克拉维茨 (Noah Kravitz)，牛津大学“计算机科学家通常称其为‘