用四个 2 生成任意整数 (2025)

2025 年 2 月 22 日 14:53 标签 数学 有一个可爱的数学难题，对于不同水平的人们来说可能都很有趣：给定数字 2 的四个实例和一些目标自然数，使用任何数学运算来生成这些 2 的目标数字，不使用其他数字。小学生可以做一些例子： \[\begin{align*} 1&=\frac{2+2}{2+2}\\ 2&=\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3&=2\cdot2-\frac{2}{2}\\ 4&=2+2+2-2\\ 5&=2\cdot 2 +\frac{2}{2}\\ 6&=2\cdot 2\cdot 2 - 2\\ \end{align*}\] 在中学，孩子们学习指数、阶乘等，这大大扩展了范围： \[\begin{align*} 18&=2^{2^{2}}+2\\ 28&=(2+2)!+2+2\\ 256&=(2+2)^{2+2}\\ 65536&=2^{2^{2^{2}}}\\ \end{align*}\] 接下来就是技巧了；例如，数字22（二十二）可以被视为两个2的有效使用，依此类推；所以我们可以有： \[\begin{align*} 26&=22+2+2\\ 11&=\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444&=222\cdot 2\\ \end{align*}\] 达到 7 是出了名的困难，但如果你允许更多的数学工具，比如 Gamma 函数，它就会变得很容易： \[7&=\Gamma(2)+2+2+2\] 人们的数学技能越多，他们能得出的数字就越多。请参阅此线程，了解一些使用积分、重复分数和组合运算符的有趣组合。我最喜欢的例子之一涉及复数： \[12=|2+2\sqrt{-2}|^2\] 因此，即使大学毕业后，乐趣也不会结束！事实上，这似乎是 20 年代数学家最喜欢的消遣。直到保罗·狄拉克（Paul Dirac）为每个数字找到通用解决方案，为每个人毁了它。这都是关于嵌套平方根： \[\begin{align*} \sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\\ \end{align*}\] 如果平方根被应用 n 次： \[\sqrt{\sqrt{\cdots n \cdots\sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}\] 现在剩下的就是一些以 2 为底的数对数： \[log_{2}2^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}\] 另一个： \[log_{2}(log_{2}2^{2^{(-n)}})=-n\] 这导致一般公式： \[n = -log_{2}\left(log_{2}\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n \cdots\sqrt{2}}}\right)\right)\] 只有一个小问题：它使用数字 2 的三个实例，而不是四个。然而，这很容易修改；因为 2=\sqrt{2+2} ，我们可以用它替换任何单个数字并得到恰好四个： \[n = -log_{\sqrt{2+2}}\left(log_{2}\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n \cdots\sqrt{2}}}\right)\right)\] 有人可能会说这是作弊，但这似乎符合拼图规则！请注意，实体 n 实际上并没有出现在任何地方 - 它只是一个计算重复平方根数量的助手。例如，表示 7 的另一种方法是： \[7=-log_{\sqrt{2+2}}\left(log_{2}\left( \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right)\right)\] 正好有四个 2，并且这仅使用合理的基本数学运算来进行计算。很明显，任何数字都可以这样表达；唯一的挑战是正确地绘制所有这些平方根！我在格雷厄姆·法梅洛的书《最奇怪的人：保罗·狄拉克的隐秘生活，量子天才》中读到过这个故事。到目前为止我很喜欢这本书。