“令人惊叹的”渗透证明解决了数十年来有关相变的难题

许多传递图表示来自其他数学子领域的对象，例如代数或几何。本杰明对这些跨学科的可能性很感兴趣——他希望渗透过程能够揭示对图表本身的见解。 “你有一个舞台，这是几何学，还有一个舞者，这是随机过程，”他说。通过观看舞者，他希望更多地了解舞台。在接下来的十年里，本杰明、施拉姆和他们的同事发表了一系列关于传递图渗透的结果。他们证明，对于一类无限传递图，当你打开流动的边缘时，渗透会表现出相变：小的、孤立的流体池突然合并成一个由相互连接的河流组成的无限网。但他们仍然不知道这种转变发生的速度有多快。在临界点以下，水池有多大、数量有多少？在它的上方，无限的网络是一片溪流纵横交错的草地——还是更像是一片海洋，淹没了整个图表？本杰明尼和施拉姆怀疑锐度猜想的一个版本在所有无限传递图上都是正确的。这个猜想可以分解为两个独立的问题。 “亚临界”部分——解决临界点以下发生的情况——由 Tonći Antunovic 和 Ivan Veselić 于 2007 年完成。他们的研究表明，这里的液体池很小而且间隔很远。即使比临界点低一点点，该系统看起来也更像亚利桑那州而不是明尼苏达州。你有一个舞台，这是几何学，还有一个舞者，这是随机过程。魏茨曼科学研究所的伊泰·本杰明尼猜想的“超临界”部分——涉及高于临界阈值的概率——似乎更难。在这里，景观可能由许多海洋组成，每个海洋都无限大。在这种情况下，不与无边大海相连的大型水池就变得极其罕见。这是因为，一个大型的、孤立的水池只有在周围有大量干燥的土地或封闭的边缘时才能保持独立。但超临界清晰度的证明似乎无法实现。一方面，之前的工作没有帮助：晶格上超临界锐度的证明又长又复杂，而且无法适应更一般的情况。虽然其他基础性结果在过去十年中得到了简化，但“这是仅存的一个堡垒，”纳赫米亚斯说。本杰明说，研究这个问题的数学家“做了一些非常漂亮的事情，开创了理论，摘取了所有容易实现的成果”。 “然后我们就开始碰壁了。” 2008 年，随着非晶格渗透研究进展放缓，施拉姆在徒步旅行时摔倒身亡，享年 46 岁。 “我们因一场悲惨事故失去了一位天才，奥德·施拉姆，”本杰明尼说。 “然后我们需要等待一些新天才的到来。”大约十年前，该领域再次开始加速发展。但证明超临界清晰度仍然很困难。然后，苏黎世的团队给出了一个简单的证明。急速转弯 迪斯金、伊索、拉达克里希南、苏达科夫和塔森并不打算证明超临界的锐度。在 2025 年秋季的大部分时间里，他们试图了解临界概率如何随图中边的数量而变化。但这五位数学家希望在学期末得到结果。随着截止日期的临近，他们仍然没有任何类似的证据。因此，伊索建议转向清晰度。他、迪斯金和拉达克里希南取得了一些进展，并将他们的成果带给了苏达科夫和塔松。当塔松欣赏他们的作品时，一个想法——也许是一个令人震惊的想法——在他的脑海中形成。他认为，通过一些调整，他们的策略可能足够强大，足以证明所有无限传递图的清晰度。 “从那时起，它日夜萦绕在我的脑海里，”塔森说。 “文森特对此感到疯狂，”迪斯金说。 “我想他至少有两周没有睡觉了。”不仅仅是塔西翁。在那几周里，合作变得疯狂。数学家们经常交换想法，经常在深夜发短信。迪斯金说：“我们确实都有这样的预感，认为其中可能有什么道理。” “我们一开始是半开玩笑的……也许同样的想法可以解决这个巨大的猜想。我们都在嘲笑对方，但万一呢，万一呢？”极度简单 带着兴奋的心情，随着假期的临近，他们决定是时候认真写论文了。为了证明一个巨大的孤立流体池不可能高于临界概率，数学家假设他们有这样一个池，并研究了周围的海岸线。沿着那条海岸线，有溪流流入水池，但也有溪流汇回一望无际的大海。如果这些溪流在任何地方重合，数学家就会遇到矛盾——他们所谓的有限流体池实际上是无限海洋的一部分。也许同样的想法可以解决这个巨大的猜想。我们都在互相嘲笑，但是万一呢，万一呢？萨哈尔·迪斯金，ET