《数学原理》既现代又富有洞察力

在第 20 页，《原理》在描述 ∃ 引入后说道： ⊢ φy ⊂ (∃x).φx ：上述命题在实践中给出了证明存在定理的唯一方法：我们总是必须找到 φy 成立的某个特定 y，从而推断 (∃x).φx 。如果我们假设所谓的乘法公理，或者泽梅洛阐述的等价公理，那么在一类重要的情况下，这将给出一个存在定理，在该定理中找不到特定的真理实例。因此，对于罗素和怀特海来说，证明存在定理的“实践中唯一的方法”就是展示证人。他们或许在不知不觉中采取了直觉主义甚至建构主义的观点。这本书出版于 1910 年……雅克·卡雷特 (Jacques Carette) 指出，布劳威尔也在那个时期出版了著作。 （尽管不得不说，布劳威尔当时的著作对数学家来说很难理解。直觉主义与经典主义的争论实际上是从赫尔曼·韦尔开始的。）雅克进一步指出，建构主义的某些方面可以追溯到 30 年前的克罗内克。类型 在 p21 上，在断言命题（以现代表示法）⊢ ∀x 之后。 φ(x) ∧ ∀x。 ψ(x)⇒∀x。 φ(x) ∧ ψ(x) 作者写道“这要求 φ 和 ψ 应该是采用相同类型参数的函数。 （我们将在稍后阶段解释这一要求）。”多么现代啊！这也许是“类型”这个词的第一次使用，这个词现在在编程中很常见。集合成员资格的起源 在第 26 页，作者指出，集合成员资格的符号实际上是希腊语 epsilon，即 ἐστί 一词的第一个字母——用俄语类似的话，我认为它的意思是“存在”。所以 x ∈ man 字面意思是“x 是一个人”。 （我并不是说《原理》首先提出了这个符号。它已经建立了。）描述性函数第 33 页可能是函数作为二元关系的特定形式的第一个现代定义：任何二元关系 R 都归纳出一个函数 R'y 作为唯一的 x，使得 xRy 成立。对R没有限制；然而，后来“域”被引入为那些 y 的一类，其中只存在一个 x，因此 xRy 成立。因此，一对多关系确实定义了一个具有空域的函数。 《原理》将这种二元关系引发的函数称为“描述函数”（现在通常称为“明确描述”）。这个名称和阐述遵循罗素五年前发展的自然语言描述理论（在他的著名论文“论指称”，Mind 14(4), 1905）。雅克·卡雷特 (Jacques Carette) 指出，早在 1910 年，《原理》就预见到了“明确描述”和“显式函数”之间的区别，因为数学中已经有这样的例子。 “分析延拓是数学中的过程之一，它是函数式的，但不是函数，因为它涉及一定数量的选择。”参考文献 Ludlow，Peter。斯坦福哲学百科全书（2023 年冬季版），Edward N. Zalta 和 Uri Nodelman（编辑）< https://plato.stanford.edu/archives/win2023/entries/descriptions/>