使用 Cochain-Frame 等变学习物理场的离散黎曼度量

摘要

arXiv:2608.14556v1 Announce Type: new Abstract: Physical fields on meshes require a separation between topology and geometry: conservation laws are topological and should be exact, while geometry, mat...

and the geometry RHMP d_k cochain exact learned Hodge fields

2026-08-18 1 阅读约1分钟阅读 Dongzhe Zheng, Christine Allen-Blanchette

arXiv:2608.14556v1 公告类型：新摘要：网格上的物理场需要拓扑和几何之间的分离：守恒定律是拓扑的并且应该是精确的，而几何、材料响应和各向异性耦合必须从数据中学习。现有的神经代理通常在不受约束的消息传递中混合这些角色。我们引入了黎曼霍奇消息传递（RHMP），它将这种分离变成了一种架构原则。 RHMP 修复由定向关联确定的细胞共边界 ($d_k$)，并学习几何相关传播的对称正定上链度量 ($H_k$)。将 $H_k$ 视为学习度量会激发 cochain-frame 等变性：物理传播对于隐藏 cochain 特征基础的正交变化应该是不变的。 RHMP 通过度量加权 Hodge 块 ($d_k^\top H_{k+1}d_k$) 实现这一原理，产生精确的上链复数恒等式 ($d_{k+1}d_k=0$)、非负 Hodge 能量、正半定算子和精确的阿贝尔曲率不变性。在涵盖流体、电磁、规范场和可变网格 CFD 的七个物理基准中，RHMP 实现了最佳的整体性能，当拓扑、学习几何和场结构相互作用时，收益最大。

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