手动离散傅立叶变换

在信号处理中，离散傅里叶变换（DFT）无疑是最重要的方法。但所涉及的数学非常复杂，从字面上看，涉及对复数项 e^(-iwt) 的求和，其中 e 是欧拉数，i 是虚数单位，w 是角频率，t 是时间。我开发这个练习是为了证明，在如此复杂的情况下，DFT 只是一系列可以手动计算的矩阵乘法。 ✍️ 一旦您看到这一点，您就不会感到惊讶了，深度神经网络（也是一系列矩阵乘法，中间有激活函数）可以学习执行 DFT 来如此有效地处理和分析信号。 💡 学习与固定：U-Net 从数据中学习过滤器来处理空间域中的信号。 DFT 与传统的相反，是一种固定变换，由手工设计而不是学习，它将频域中的相同信号视为余弦波的组合。 DFT 是如何工作的？ 🟧 频域中的信号 A、B 和 C： A = cos(w) + 2cos(2w) B = cos(w) + cos(3w) + cos(4w) C = -cos(2w) + cos(3w) 每个信号是频率为 1w、2w、3w 和 4w 的四个余弦波的加权和。我们将应用逆 DFT 将信号转换为时域表示，然后演示 DFT 可以转换回原始频域表示。 🟩 时域中的信号 X。 X 在 10 个时间点 1t, 2t, …, 10t 采样： X = [-2.5, -1.8, 3, -0.7, -1.0, -0.7, 3, -1.8, -2.5, 5] 假设 X 也是相同的四个余弦波的加权和，但我们还不知道它们的权重。我们将应用 DFT 来发现它们。