研究生证明了分形的量子不确定性原理

有了假设，科恩就开始进行实际证明。他很快意识到这与他之前研究过的任何与傅立叶相关的问题都不同。 “我尝试使用我所有的工具来证明分形不确定性原理，但没有一个工具能够发挥作用，”他说。由于感到陷入困境，他回到了迪亚特洛夫和布尔干在一维原理上的证明，并试图准确地理解它是如何运作的。 Dyatlov 和 Bourgain 在证明中使用了一种不常见的方法。它涉及一次从类似分形的函数中分离出一个峰值，并显示该峰值的傅里叶变换会展开。对所有峰值执行此操作，并考虑傅里叶变换如何加在一起，他们证明总傅里叶变换永远不可能等于零，足以形成分形 - 不会有足够的孔。 Jean Bourgain（2012 年出现在此处）是 500 多篇涉及数学领域论文的作者。隔离每个峰值需要构建一个非常具体的函数，当该函数乘以原始的分形函数时，将仅提取峰值并在其他地方接近于零。这称为阻尼功能，需要完美定制才能发挥作用。 “这是一个具有挑战性的事情，”科恩说。但他知道，如果他能在更高的维度上做到这一点，他就能解开整个证明。科恩向迪亚特洛夫咨询了建造这一特殊功能的计划。布尔甘于 2018 年底去世之前，他也曾与这个问题作过斗争，他与迪亚特洛夫分享了他未发表的笔记。现在，迪亚特洛夫与科恩分享了它们。 “布尔根是一位传奇分析师，”科恩说。读这张纸条感觉就像“从他那里得到了这些未完成的知识”。这些笔记正是科恩所需要的提示。 “这让我大吃一惊，”科恩说。 “这确实为我解开了这个问题。”在阅读布尔根的笔记之前，科恩对如何构建阻尼功能有一些想法，但它们非常复杂和精确，就像一块砖建造房屋的设计一样。这张纸条揭示了一种意想不到的方法。它涉及绕道进行复杂分析——研究虚数函数，其中包括负 1 的平方根。这种绕道允许科恩构建一个更加灵活的对象，然后可以用它来间接构造阻尼函数。麻省理工学院数学家 Semyon Dyatlov 在 2016 年证明了一维分形不确定性原理。有了这一见解，科恩需要找到一种方法来创建这种柔性物体的正确版本，以产生适当的阻尼函数。科恩本科时师从耶鲁大学的威廉·施拉格（Wilhelm Schlag）说：“构建这样一个具有非常特殊属性的东西是非常重要的。它很微妙。” “在二维空间中，没有人知道如何做到这一点，而亚历克斯想出了一个出色的构建这样的东西。” 2023 年 5 月，科恩在网上发布了证明，震惊了数学界。“他的论文非常漂亮，给人留下了深刻的印象，”施拉格说。后来，科恩发现布尔根在笔记中向他透露的伎俩实际上并不是秘密。该方法源自 20 世纪 60 年代著名的 Beurling-Malliavin 定理。 “我以为我拥有这种特殊的内幕知识，”科恩说。 “后来我发现这个领域的每个人都已经知道这个策略了。”如果科恩知道他的内幕消息并不是秘密，他可能会很快放弃。 “我认为我很有信心，因为我不知道其他人已经尝试过，”他说。 Funhouse Chaos 科恩分享他的结果后不久，其他数学家开始使用它来解锁有关波在混沌情况下如何表现的新证明。在自然界中，混乱出现在湍流水和天气等系统中——开始时靠近的物体很快就会出现在截然不同的地方。这些系统太复杂，无法用数学方法描述。相反，寻求研究混沌的数学家经常转向一种内置混沌的奇怪空间，称为双曲空间。在双曲空间中，平行线会急剧发散，当您沿着平行线的路径行驶时，它们之间的距离会越来越远。 （它与球体相反，球体中平行线会聚。）这意味着物体之间的微小间隔可能会在直线上变得很大——这是混乱的迹象。