Tim Gowers：法学硕士擅长哪种数学？

为了那些可能在遥远的未来（比如一个月后）读到这篇博文的人，让我提一下，我是在 OpenAI 宣布它已经解决了数学和理论计算机科学中的十大问题几天后写的，其中包括第一个构造非 sofic 群，以及证明多色 Ramsey 数（其中有 3）在 中呈超指数增长。从我参加过的各种演讲来看，第一个是群论中最重要的未解决问题之一，第二个是拉姆齐理论中的一个主要开放问题，我不一定希望在我的有生之年看到它得到解决，尽管现在这样的期望必须被修改。我想明确时间安排的原因是，我将讨论法学硕士当前的能力，并充分预期这些能力将继续迅速变化。因此，很可能在不久的将来，如果我写的东西有什么有趣的地方，那么它主要是作为 2026 年 8 月上旬情况的记录而有趣。这些结果以及列表中的其他八个结果都非常令人印象深刻，但似乎仍然没有表明法学硕士在数学的各个方面都比所有人类都要好。如果是的话，那么他们相对于我们的巨大速度优势将意味着将会有更多的结果。因此，人们很自然地想知道法学硕士擅长解决哪些类型的问题，以及哪些方面还有改进的空间。我不会假装对这个问题有一个好的答案，一个好的答案应该是一个清晰的分类，非常适合当前的例子，但尝试排除一些错误的答案，并尝试识别与证据没有明显矛盾的潜在答案是一个有趣的练习。 LLM 是否特别擅长寻找反例？这里首先要说的是，法学硕士不仅擅长寻找反例：他们还可以找到困难陈述的证明。然而，值得注意的是，他们解决的最著名的问题几乎都是用反例而不是证明。上面提到的两个问题都是如此，雅可比猜想和单位距离猜想也是如此。如果有人想推论法学硕士特别擅长寻找反例，那么最好做两件事以使该理论更有说服力。第一个听起来可能没有问题：决定何时解决问题算作找到反例。一旦解决了这个问题，第二个就是提出一个可能的解释，解释为什么法学硕士特别适合解决该特定类型的问题。找到反例意味着什么？为什么我建议找到反例的意义并不完全明显？当然，有人可能会建议，这意味着您有一个“这样那样类型的每个对象都有这样那样的属性”形式的声明，并且您展示了一个不具有给定属性的给定类型的对象。然而，这并不总是有效。考虑一下维诺格拉多夫的一个著名结果，它指出每个足够大的正整数都是三个素数的和。该陈述的否定是（或等效于）对于每个正整数都存在一个不是三个素数之和的整数的陈述。换句话说，它指出每个正整数都具有特定的属性。从这个角度来看，维诺格拉多夫发现了一个不具有给定属性的正整数的例子。难道我们想说维诺格拉多夫找到了反例吗？显然不是——结果显然应该被归类为定理而不是反例。因此，我们不能天真地说法学硕士特别擅长否定普遍量化的陈述：必须有一些关于普遍量化的本质的东西。通过三素数的例子，很明显，维诺格拉多夫并没有思考“我该如何找到这个性质？”相反，他的想法更像是，“我有一个非常大的整数。我如何证明它是三个素数的和？”换句话说，他所有的注意力都集中在普遍量化上，一旦证明的细节得到解决，存在量化就成了一种事后的想法。一般来说，许多有趣的结果，当它们被正式表述时，都是以两个或三个（或更多）量词的交替开始的。那么问题就变成了确定哪个是某种意义上第一个“有趣的”量化变量。这是来自有限维赋范空间理论的另一个例子来说明这一点。我将为那些好奇的人提供一些数学细节，但如果您不关心这些，那么您可以跳过接下来的三段，并且应该了解我在这个示例中所说的要点。令 和 为二维赋范空间并令 b