进一步了解克劳德的数学能力

最近，Anthropic的一名工作人员向克劳德提出了无理挑战。这是关于数学中最著名的未解决问题之一：对黎曼假设进行真正的尝试。克劳德确实做了一次真正的尝试，但正如你可能预料到的那样，如果你熟悉这项任务的难度（黎曼假设可以追溯到 1859 年，并有百万美元的赏金），它并没有成功。然而，在尝试过程中，它意外地在相关问题上取得了进展。 Claude 的一个未发布的研究版本对满足黎曼假设的黎曼 zeta 函数的零分数的长期下界进行了改进。借鉴数学家过去几十年的大量先前研究，它已将这一界限从 41.6% 提高到 67.2%。 Anthropic 的两位数学家研究并验证了 Claude 的论文，并为专家制作了一份非正式笔记，简明扼要地阐述了 Claude 的证明。克劳德还为其结果提供了可正式验证的证明。我们感谢该领域的两位专家 Brian Conrey 和 Dan Goldston，他们在短时间内慷慨地审查了这篇论文。我们并不期望克劳德使用的技术能够证明黎曼假设。但它的工作是人工智能模型数学能力进步速度的最新例子。在这篇文章中，我们讨论克劳德如何解决这个问题以及它的发现。黎曼 zeta 函数 黎曼 zeta 函数描述了素数的分布：函数取零值的每个位置都为素数序列提供了更精细的细节。黎曼假设是，决定素数的零点都沿着某条垂直线存在。这已成为数学中最重要的猜想之一：许多结果都假设它是为了提供素数的一种随机性。尚未有人能够证明或反驳黎曼假设，但数学家在研究黎曼 zeta 函数及其零点的许多相关方向上取得了进展。其中之一，如上所述，是量化线上零的最小比例：随着时间的推移，他们逐渐将这个已知的常数比例增加到 41.6%。另一个方向涉及线上零点的分布。特别是在 1973 年，蒙哥马利在这一领域引入了许多新技术，尽管这些技术假设假设是正确的。最近，几位数学家（Baluyot、Goldston、Suriajaya 和 Turnage-Butterbaugh）发表了一系列著作，允许蒙哥马利的技术在没有这种假设的情况下发挥作用，这意味着他们可以支持增加线上零点的下界常数的工作。克劳德的研究结果在很大程度上借鉴了这方面的研究，以及邦别里 2000 年的一篇论文。 Claude 的发现 Claude 发现，将Baluyot、Goldston、Suriajaya 和Turnage-Butterbaugh 的结果与Bombieri 的工作相结合，提供了一种超越之前最先进的下限比例41.6% 的方法，将其提高到67.2%。对克劳德发现的简短技术解释如下：克劳德形成了一个合适的函数空间，其具有由韦尔导出的二次形式，以及由线上（分别为线下）的零点产生的正（分别为负）定子空间。然后克劳德简单地用一阶矩和二阶矩信息写出二次形式的秩不等式。 （后者根据素数的对偶图像或通过希尔伯特变换的控制的成功计算，在解析数论中并不奇怪。）处理整个空间的勇气，同时考虑正定性和负定性，并且二次形式允许非对角，在某种意义上是允许克劳德基于重要的先前工作得出结论的步骤。完整的技术解释可在本文中找到。克劳德对其如何得出结果的解释可以在此处的单独附录中找到。 Claude 的方法 Claude 的一个未发布的研究版本发现了 Claude Code 中两个会话的新下限，总共使用了 3100 万个输出代币。贾里德·萨姆纳 (Jarred Sumner) 是一位人类工作人员（非数学家），他促使克劳德对假设本身进行“真正的尝试”，将数学选择留给模型。最初，克劳德提出并尝试了 650 个想法，但没有一个奏效。 Jarred 促使 Claude 再试一次，花了一天半的时间来协调大约 60 个 Claude 子代理，这一次的工作要深入得多：他们运行了 2,400 个 shell 命令并编写了数百个 Python 脚本。 1 子代理对已知的 zeta 零点进行了数千次数值检查，并互相评审了彼此的工作。在整个过程中，贾里德的输入主要限于向克劳德发送鼓励信息（主要是“继续前进”或“相信自己”的变体）。 2 这好像是哈