每种顺序都有神奇的六边形

19这个数字有何特别之处？这个问题是在上个月 YSDA 校友的一次谈话中提出的，当时学校已经 19 岁了。有人指出 19 是孪生素数。还有人回答说19是唯一非平凡的正态魔法六边形中的单元格数量。等等，什么是“神奇六边形”？让我们从这里开始。关于人工智能辅助数学的说明最近，我们听到很多关于人工智能奇迹般地证明和反驳了长期存在的猜想的消息，但通常没有太多解释它是如何完成的。这个故事让我们深入了解这一数学发现的过程。幻方和幻六边形 您可能了解幻方。魔方是一个数字方格，其中每行、每列和两条主对角线的总和相等，称为魔方常数。我们通常还要求数字是连续的 - 通常从 $1$ 到 $n^2$ - 并将其称为普通幻方。否则，我们可以简单地将相同的数字放入每个单元格中，这将是一种非常无聊的填充正方形的方法。本页上的所有插图都是交互式的。点击它们！幻方已经为人所知数千年，现在已为人们所熟知。我们有构造 $n>2$ 阶的普通幻方的算法。神奇六边形将相同的想法应用于六边形网格。它的单元格在三个方向上形成直线，并且每条这样的直线必须具有相同的总和。与正方形一样，如果幻六边形包含从 $1$ 到 $3n^2-3n+1$ 的连续数字（$n$ 六边形中的单元总数），则该幻六边形被称为正常六边形。在上面你可以看到现存的唯一不平凡的正常魔法六边形——除了它自己的旋转和反射。证明很简单。在三个方向的每一个方向上，单元格都被划分为 $2n-1$ 行。因此，所有数字的总和必须能被 $2n-1$ 整除。对于每个订单 $n>3$，从 $1$ 到 $3n^2-3n+1$ 的数字之和无法通过整除性测试。好吧，故事到这里就结束了，可一点也不有趣。为了让事情变得更有趣，我们来看看所谓的异常魔法六边形。这里我们放宽了一个限制：网格上的数字必须仍然是连续的，但它们不再必须从 $1$ 开始。这种小小的放松突然让新的解决方案出现。然而，找到它们并不容易。与幻方不同，没有公式化的构造或确定性算法。唯一已知的方法是在一个极其巨大的可能排列的搜索空间中漫步。根据维基百科，截至 2026 年 7 月，已知最大的解决方案是 Klaus Meffert 在 2024 年发现的 $n=9$ 阶的六边形。那么……是什么让这些解决方案如此难以找到？我们试试怎么样？第一章：进行观察（用人脑） 两个独立的约束之间存在明显的张力：数字必须连续；所有线的总和必须相等，即使线的长度不同。我发现的先前解决方案表明人们已经尝试了几种搜索算法并且可能很好地优化了它们。这让我觉得，如果我想推动这个领域的发展，我不应该专注于让搜索更快，而应该专注于让搜索空间更小。观察：反对称六边形要简单得多 首先，我们将网格上的数字限制在对称区间 $-K,\ldots,K$ 内，对于某些 $K$ 。如果所有行总和相等，则相当于要求每行总和为零。其次，将 $0$ 放在中心，并要求 180 度旋转下彼此相对的单元格包含相反的值。如果一个细胞包含$x$，则其对足细胞包含$-x$。注意有多少约束消失了。通过中心的每条线的总和都会自动为零，因为它的值在相反的对中抵消。每隔一条线都有一条对映线，其对映相反数之和。如果其中一个总和为零，则另一个也为零。当然，简化约束会带来风险：也许没有解决方案根本满足额外的对称性。在这一点上，遵循酒鬼原理，反对称性只是一个看似合理的搜索地点。但一旦我开始思考零和六边形，另一种结构就出现了。观察：每个零和六边形都是由同一个 6 点环构成的 快速说明 这个观察很有趣，但对于接下来的内容来说并不是必要的。如果您发现很难理解，请随意跳过这部分。考虑任何六边形网格，无论是否是零和。选取任何内部点周围的六个单元格，并添加交替模式 \([-1,+1,-1,+1,-1,+1].\) 保持中心单元格不变。与该环相交的每条直线要么没有贡献，要么收到两个相反的贡献：$+1$ 和 $-1$。因此其总和保持不变。我们可以添加此模式的任意倍数，而无需更改单行总和。这些局部交替环构成了基础：每个零和六边形都可以构建为它们的唯一线性组合