Fisher 宽度：统计流形复杂性的几何度量

arXiv:2606.18306v1 公告类型：新 摘要：高斯宽度是高维概率、压缩感知、凸优化和学习理论中的核心几何复杂性度量。它量化集合沿随机方向的平均范围，从而捕获约束集、假设类和下降锥的有效维度。然而，这个概念本质上是欧几里得的。相反，统计模型带有由费舍尔信息度量引发的自然黎曼几何，其中方向根据统计可区分性而不是环境欧几里得长度进行缩放。我们引入费舍尔宽度，它是统计流形高斯宽度的费舍尔几何类似物。在参数点 $\theta$ 处，Fisher 宽度用局部度量张量 $G(\theta)^{1/2}$ 替换欧几里德恒等式，测量 Fisher 重新缩放集的高斯宽度。这使得结果量对局部统计曲率敏感并且在平滑重新参数化下保持不变。我们发展了费舍尔宽度的基本理论，表明它保留了高斯宽度的关键结构特征，包括浓度、度量扰动稳定性以及与欧几里德基线的光谱比较界限，同时还捕获了欧几里德测量不可见的各向异性几何效应。作为一个应用，我们证明了 Fisher-Lipschitz 假设类的泛化界限，并提出了可计算的估计量，我们在 MNIST 上跨三个模型类进行了经验评估。费希尔宽度对于统计流形来说就像高斯宽度对于欧几里得凸体一样。这项工作为研究复杂性和弯曲统计流形学习奠定了基础。